الفصل 1 في الكتاب الرسمي: التعداد والحساب
في نهاية هذا الدرس أكون قادرًا على:
- أحدّد قواسم عدد صحيح طبيعي
- أتعرّف العدد الأوّلي
- أفكّك عددًا إلى جذاء عوامل أوّلية
- أحسب القاسم المشترك الأكبر لعددين
أستكشف ثمّ أستنتج
الوضعية
تريد مكتبة المدرسة توزيع 84 قصّة و60 مجلّة على أكبر عدد ممكن من الرفوف، بحيث يحمل كلّ رفّ العدد نفسه من القصص والعدد نفسه من المجلّات. لاحظ التلاميذ أنّ 84 = 2 × 2 × 3 × 7 وأنّ 60 = 2 × 2 × 3 × 5.
ألاحظ
- ما العوامل المشتركة بين تفكيكَي 84 و60؟
الجواب
العوامل المشتركة: 2 × 2 × 3.
- ما جذاؤها؟ ماذا يمثّل هذا العدد؟
الجواب
2 × 2 × 3 = 12: هو القاسم المشترك الأكبر للعددين، أي أكبر عدد ممكن من الرفوف.
- كم قصّة وكم مجلّة على كلّ رفّ؟
الجواب
84 ÷ 12 = 7 قصص و60 ÷ 12 = 5 مجلّات.
أستنتج
نقول إنّ b قاسم لـ a إذا كان باقي القسمة الإقليدية لـ a على b يساوي صفرًا. العدد الأوّلي عدد صحيح طبيعي له قاسمان مختلفان فقط: 1 ونفسه (2، 3، 5، 7، 11، 13…). كلّ عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 يُكتب بطريقة وحيدة جذاءَ عوامل أوّلية. القاسم المشترك الأكبر لعددين هو جذاء العوامل الأوّلية المشتركة بأصغر أُسّ.
1. كيف نعرف أنّ عددًا أوّلي؟
نقسم العدد على الأعداد الأوّلية 2، 3، 5، 7، 11… بالترتيب، ونتوقّف عندما يصبح مربّع القاسم أكبر من العدد. إذا لم نجد أيّ قاسم فالعدد أوّلي.
مثال: 101. نجرّب 2، 3، 5، 7 فلا تقسمه، و11² = 121 > 101: إذن 101 أوّلي.
العدد 1 ليس أوّليًّا (له قاسم واحد)، والعدد 2 هو العدد الأوّلي الزوجي الوحيد.
2. التفكيك إلى جذاء عوامل أوّلية
| العدد | القسمة المتتالية | التفكيك |
|---|---|---|
| 60 | 60 ← 30 ← 15 ← 5 ← 1 | 2² × 3 × 5 |
| 84 | 84 ← 42 ← 21 ← 7 ← 1 | 2² × 3 × 7 |
| 225 | 225 ← 75 ← 25 ← 5 ← 1 | 3² × 5² |
القاسم المشترك الأكبر لـ 60 و84: نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أُسّ: 2² × 3 = 12.
أمثلة محلولة
فكّر في كلّ مثال قبل قراءة الحلّ.
الحلّ خطوة بخطوة
- 30 = 2 × 3 × 5.
- القواسم: 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، 30.
- نبحث عن ثلاثيات جذاؤها 30: 1×1×30، 1×2×15، 1×3×10، 1×5×6، 2×3×5.
✓ خمسة أشكال ممكنة للخزّان.
الحلّ خطوة بخطوة
- لا يقبل القسمة على 2 ولا 3 ولا 5.
- 91 ÷ 7 = 13.
✓ 91 = 7 × 13: ليس أوّليًّا.
انتبه! أخطاء شائعة
ما يجب أن أحفظه
- b قاسم لـ a إذا كان باقي قسمة a على b صفرًا.
- العدد الأوّلي له قاسمان فقط: 1 ونفسه.
- 1 ليس أوّليًّا، و2 هو الأوّلي الزوجي الوحيد.
- كلّ عدد أكبر من 1 يُفكَّك بطريقة وحيدة إلى عوامل أوّلية.
- القاسم المشترك الأكبر: العوامل المشتركة بأصغر أُسّ.
📚 مصطلحات الدرس
4 مصطلحات من هذا الدرس في القاموس المدرسي: التعريف ومقابله بالفرنسية، ومثال.
اختبر نفسك
4 أسئلة · إصلاح فوري1. أيّ عدد أوّلي؟
2. تفكيك 72 إلى عوامل أوّلية:
3. القاسم المشترك الأكبر لـ 18 و24:
4. عدد قواسم 12:
سلسلة تمارين الدرس
كلّ التمارين ←8 تمارين من ثلاثة مستويات، بأسئلة وأعداد جديدة في كلّ محاولة.
- صحيح أم خطأ؟لم يُنجز
- أكمل بالكلمة المناسبةلم يُنجز
- أختار الإجابة الصحيحةلم يُنجز
- أصنّفلم يُنجز
- تفكيك عدد وعدد قواسمهلم يُنجز
- باقات الأزهار والقاسم المشترك الأكبرلم يُنجز
- وضعية مشكل 1لم يُنجز
- وضعية مشكل 2لم يُنجز
تدرّب على: القواسم والأعداد الأوّلية
صحيح أم خطأ، أكمل، اختر، صنّف، ووضعيات: إصلاح فوري مع التعليل.
فهمت الدرس؟ جرّب بنفسك
8 تمارين · التصحيح فورًا · أعداد جديدة في كلّ محاولة
ابدأ التمارين